Ví dụ ma trận vuông cấp 2

Ma trận biến đổi A = [ 2 1 1 2 ] {\displaystyle {\bigl [}{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}{\bigr ]}} bảo toàn hướng của các vectơ màu tím song song với vλ=1 = [1 −1]T và các vectơ màu xanh song song với vλ=3 = [1 1]T. Các vectơ đỏ không song song với vectơ riêng nào, cho nên hướng của chúng bị lệch đi sau phép biến đổi. Ta còn có thể thấy, độ dài của các vectơ tím cũng không đổi sau phép biến đổi (vì các giá trị riêng tương ứng với chúng là 1), trong khi các vectơ màu xanh có độ dài bằng 3 lần độ dài ban đầu (vì có giá trị riêng tương ứng là 3). Xem thêm: Một hình ảnh rộng hơn, thể hiện trên cả bốn góc phần tư.

Xét ma trận

A = [ 2 1 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}

Hình ảnh bên phải cho thấy tác động của phép biến đổi này lên các điểm tọa độ trong mặt phẳng. Các vectơ riêng v của phép biến đổi này thỏa mãn Phương trình (1), và các giá trị của λ sao cho định thức của ma trận (A − λI) bằng 0 là các giá trị riêng.

Lấy định thức để tìm đa thức đặc trưng của A,

| A − λ I | = | [ 2 1 1 2 ] − λ [ 1 0 0 1 ] | = | 2 − λ 1 1 2 − λ | , = 3 − 4 λ + λ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}|A-\lambda I|&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}},\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}.\end{aligned}}}

Đặt cho phương trình đặc trưng bằng 0 và giải phương trình, nó có các nghiệm tại λ=1 và λ=3, cũng chính là hai giá trị riêng của ma trận A.

Với λ=1, từ Phương trình (2) ta có,

( A − I ) v λ = 1 = [ 1 1 1 1 ] [ v 1 v 2 ] = [ 0 0 ] {\displaystyle (A-I)v_{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}} 1 v 1 + 1 v 2 = 0 {\displaystyle 1v_{1}+1v_{2}=0} ; 1 v 1 + 1 v 2 = 0 {\displaystyle 1v_{1}+1v_{2}=0}

Mọi vectơ khác vectơ không với v1 = −v2 sẽ thỏa mãn phương trình này. Vì vậy,

v λ = 1 = [ v 1 − v 1 ] = [ 1 − 1 ] {\displaystyle v_{\lambda =1}={\begin{bmatrix}v_{1}\\-v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}

là một vectơ riêng của A tương ứng với λ = 1, các bội vô hướng của vectơ này cũng vậy.

Với λ=3, Phương trình (2) trở thành

( A − 3 I ) v λ = 3 = [ − 1 1 1 − 1 ] [ v 1 v 2 ] = [ 0 0 ] {\displaystyle (A-3I)v_{\lambda =3}={\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}} − 1 v 1 + 1 v 2 = 0 {\displaystyle -1v_{1}+1v_{2}=0} ; 1 v 1 − 1 v 2 = 0 {\displaystyle 1v_{1}-1v_{2}=0}

Mọi vectơ khác không với v1 = v2 thỏa mãn phương trình trên. Vì vậy,

v λ = 3 = [ v 1 v 1 ] = [ 1 1 ] {\displaystyle v_{\lambda =3}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}

và các bội vô hướng của nó là các vectơ riêng của A, ứng với λ = 3.

Vậy các vectơ vλ=1 và vλ=3 là các vectơ riêng của A tương ứng với các giá trị riêng λ=1 và λ=3.

Từ hình trên ta có thể thấy mỗi vectơ riêng không lệch khỏi span của nó.

Ma trận vuông cấp 3

Xét ma trận

A = [ 2 0 0 0 3 4 0 4 9 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}.}

Đa thức đặc trưng của A là

| A − λ I | = | [ 2 0 0 0 3 4 0 4 9 ] − λ [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] | = | 2 − λ 0 0 0 3 − λ 4 0 4 9 − λ | , = ( 2 − λ ) [ ( 3 − λ ) ( 9 − λ ) − 16 ] = − λ 3 + 14 λ 2 − 35 λ + 22. {\displaystyle {\begin{aligned}|A-\lambda I|&=\left|{\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0\\0&3-\lambda &4\\0&4&9-\lambda \end{vmatrix}},\\[6pt]&=(2-\lambda ){\bigl [}(3-\lambda )(9-\lambda )-16{\bigr ]}=-\lambda ^{3}+14\lambda ^{2}-35\lambda +22.\end{aligned}}}

Các nghiệm của đa thức đặc trưng là 2, 1, và 11, cũng là ba giá trị riêng duy nhất của A. Các giá trị riêng này tương ứng với các vectơ riêng [ 1 0 0 ] T , {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}}^{\textsf {T}},} [ 0 − 2 1 ] T , {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-2&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}},} và [ 0 1 2 ] T {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&2\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} , và bất kỳ các bội khác 0 của chúng.

Ma trận vuông cấp 3 với giá trị riêng phức

Xét ma trận hoán vị cyclic sau

A = [ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}.}

Ma trận này dịch chuyển mỗi tọa độ thứ hai và thứ ba của vectơ lên vị trí liền trước đó và chuyển tọa độ thứ nhất xuống vị trí cuối cùng.

Đa thức đặc trưng của nó là 1 − λ3, với các nghiệm

λ 1 = 1 λ 2 = − 1 2 + i 3 2 λ 3 = λ 2 ∗ = − 1 2 − i 3 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=1\\\lambda _{2}&=-{\frac {1}{2}}+\mathbf {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\lambda _{3}&=\lambda _{2}^{*}=-{\frac {1}{2}}-\mathbf {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}}

trong đó i {\displaystyle \mathbf {i} } là đơn vị ảo với i 2 = − 1. {\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=-1.}

Với giá trị riêng thực λ1 = 1, mỗi vectơ với ba thành phần của nó đều bằng nhau và khác 0 là vectơ riêng. Ví dụ,

A [ 5 5 5 ] = [ 5 5 5 ] = 1 ⋅ [ 5 5 5 ] . {\displaystyle A{\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}.}

Với cặp giá trị riêng liên hợp phức ta thấy,

λ 2 λ 3 = 1 , λ 2 2 = λ 3 , λ 3 2 = λ 2 . {\displaystyle \lambda _{2}\lambda _{3}=1,\quad \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3},\quad \lambda _{3}^{2}=\lambda _{2}.}

Vậy

A [ 1 λ 2 λ 3 ] = [ λ 2 λ 3 1 ] = λ 2 ⋅ [ 1 λ 2 λ 3 ] , {\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{2}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}},}

và

A [ 1 λ 3 λ 2 ] = [ λ 3 λ 2 1 ] = λ 3 ⋅ [ 1 λ 3 λ 2 ] . {\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{3}\\\lambda _{2}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{3}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}

Vì vậy, hai vectơ riêng khác của A là phức, v λ 2 = [ 1 λ 2 λ 3 ] T {\displaystyle v_{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{2}&\lambda _{3}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} và v λ 3 = [ 1 λ 3 λ 2 ] T {\displaystyle v_{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{3}&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} tương ứng với giá trị riêng λ2 và λ3. Hai vectơ riêng phức cũng theo cặp liên hợp phức,

v λ 2 = v λ 3 ∗ . {\displaystyle v_{\lambda _{2}}=v_{\lambda _{3}}^{*}.}

Ma trận khả nghịch

Xét ma trận

A = [ 1 − 1 − 1 1 3 1 − 3 1 − 1 ] {\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\1&3&1\\-3&1&-1\\\end{array}}\right]}

Ta tìm cách biểu diễn ma trận nghịch đảo theo A {\displaystyle A}

Đa thức đặc trưng của ma trận A {\displaystyle A} là

P ( λ ) = λ 3 − 3 λ 2 − 4 λ + 12 {\displaystyle P({\lambda })={\lambda }^{3}-3{\lambda }^{2}-4{\lambda }+12}

có các giá trị riêng λ1= -2, λ2=2, và λ3=3. Mọi giá trị riêng đều khác 0, vì thế A {\displaystyle A} khả nghịch.

Theo tính chất ở trên ta có:

P ( A ) = A 3 − 3 A 2 − 4 A + 12 I 3 = 0 {\displaystyle P(A)=A^{3}-3A^{2}-4A+12I_{3}=0} .

Do đó:

− A 3 + 3 A 2 + 4 A = 12 I 3 ⇒ A ( − A 2 + 3 A + 4 I 3 ) = ( − A 2 + 3 A + 4 I 3 ) . A = 12 I 3 {\displaystyle -A^{3}+3A^{2}+4A=12I_{3}\Rightarrow A(-A^{2}+3A+4I_{3})=(-A^{2}+3A+4I_{3}).A=12I_{3}}

Đặt B = 1 12 ( − A 2 + 3 A + 4 I 3 ) {\displaystyle B={\dfrac {1}{12}}(-A^{2}+3A+4I_{3})} .

Ta có:

A . B = B . A = I 3 {\displaystyle A.B=B.A=I_{3}} .

Do đó A {\displaystyle A} khả nghịch và

A − 1 = − A 2 + 3 A + 4 I 3 {\displaystyle A^{-1}=-A^{2}+3A+4I_{3}}

Ma trận đường chéo

Ma trận với chỉ với các phần tử nằm trên đường chéo chính được gọi là ma trận đường chéo. Các giá trị riêng của một ma trận chéo chính là các phần tử trên đường chéo chính. Xét ma trận

A = [ 1 0 0 0 2 0 0 0 3 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}.}

Đa thức đặc trưng của A là

| A − λ I | = ( 1 − λ ) ( 2 − λ ) ( 3 − λ ) , {\displaystyle |A-\lambda I|=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),}

nó có các nghiệm λ1=1, λ2=2, và λ3=3. Các nghiệm này là các giá trị riêng, cũng là các phần tử trên đường chéo chính của A.

Mỗi phần tử trên đường chéo tương ứng với một vectơ riêng với thành phần khác 0 duy nhất ở cùng hàng với phần tử đó. Trong ví dụ này, các giá trị riêng này tương ứng với các vectơ riêng có dạng sau ( c ≠ 0 ) {\displaystyle {\bigl (}c\neq 0{\bigr )}} ,

v λ 1 = [ 1 0 0 ] c , v λ 2 = [ 0 1 0 ] c , v λ 3 = [ 0 0 1 ] c , {\displaystyle v_{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}c,\quad v_{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}c,\quad v_{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}c,}

Ma trận tam giác

Một ma trận vuông mà các phần tử ở nửa trên của đường chéo chính đều bằng 0 thì được gọi là ma trận tam giác dưới, trong khi một ma trận với các phần tử ở nửa dưới đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên. Tương tự các ma trận chéo, các giá trị riêng của ma trận tam giác chính là các phần tử của đường chéo chính.

Xét ma trận tam giác dưới sau,

A = [ 1 0 0 1 2 0 2 3 3 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&2&0\\2&3&3\end{bmatrix}}.}

Đa thức đặc trưng của A là

| A − λ I | = ( 1 − λ ) ( 2 − λ ) ( 3 − λ ) , {\displaystyle |A-\lambda I|=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),}

có các nghiệm hay giá trị riêng là λ1=1, λ2=2, và λ3=3, cũng là các phần tử đường chéo của A.

Các giá trị riêng này tương ứng với các vectơ riêng có dạng sau (với c khác 0),

v λ 1 = [ 1 − 1 1 2 ] c , v λ 2 = [ 0 1 − 3 ] c , v λ 3 = [ 0 0 1 ] c , {\displaystyle v_{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\-1\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}c,\quad v_{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\-3\end{bmatrix}}c,\quad v_{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}c,}

Ma trận với giá trị riêng lặp lại

Tương tự ví dụ trước, ma trận tam giác dưới

A = [ 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1 3 ] , {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\end{bmatrix}},}

có đa thức đặc trưng là mà nghiệm là các phần tử trên đường chéo,

| A − λ I | = | 2 − λ 0 0 0 1 2 − λ 0 0 0 1 3 − λ 0 0 0 1 3 − λ | = ( 2 − λ ) 2 ( 3 − λ ) 2 . {\displaystyle |A-\lambda I|={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0&0\\1&2-\lambda &0&0\\0&1&3-\lambda &0\\0&0&1&3-\lambda \end{vmatrix}}=(2-\lambda )^{2}(3-\lambda )^{2}.}

Nghiệm của đa thức này, tức các giá trị riêng là 2 và 3. Số bội đại số của mỗi giá trị riêng này là 2; nói cách khác chúng đều là các nghiệm kép. Tổng số bội đại số của tất cả các giá trị riêng phân biệt là μA = 4 = n, luôn bằng bậc của đa thức đặc trưng hay số kích thước của ma trận A.

Mặt khác, số bội hình học của giá trị riêng 2 chỉ là 1, bởi không gian con riêng của nó được span bởi duy nhất một vectơ riêng [ 0 1 − 1 1 ] T {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&-1&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} nên chỉ có số chiều bằng 1. Tương tự, số bội hình học của giá trị riêng 3 cũng là 1 bởi không gian con riêng của nó được span bởi chỉ một vectơ riêng [ 0 0 0 1 ] T {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} . Số bội hình học tổng cộng γA là 2, là giá trị số bội hình học nhỏ nhất có thể có của một ma trận với hai giá trị riêng khác nhau. Số bội hình học được định nghĩa tổng quát ở mục sau.